10वीं कक्षा के छात्रों के लिए बीजगणित का महत्वपूर्ण अभ्यास, Practice set 1.4 algebra 10th। इस प्रैक्टिस सेट में बीजगणित से जुड़े विभिन्न सवालों का अभ्यास करें और अपने गणित के ज्ञान को मजबूत बनाएं। प्रैक्टिस सेट 1.4 – बीजगणित (10वीं कक्षा) में आपको गणित के बुनियादी सिद्धांतों से लेकर जटिल समस्याओं तक सभी प्रकार के प्रश्न मिलेंगे, जो आपकी परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे। इसे हल करके आप आसानी से अपने गणित स्किल्स को सुधार सकते हैं।”
अध्याय 1.4 : रैखिक समीकरण (Linear Equations)
प्रश्न 1: दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक, दहाई के अंक से 3 अधिक है। यदि संख्या और इसके अंकों के योग का अंतर 18 है, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दहाई का अंक = ( x )
इकाई का अंक = ( x + 3 )
संख्या = ( 10x + (x + 3) = 11x + 3 )
अंकों का योग = ( x + (x + 3) = 2x + 3 )
प्रश्नानुसार:
( (11x + 3) – (2x + 3) = 18 )
समीकरण को हल करें:
( 11x + 3 – 2x – 3 = 18 )
( 9x = 18 )
( x = 2 )
अब,
दहाई का अंक = ( x = 2 )
इकाई का अंक = ( x + 3 = 2 + 3 = 5 )
संख्या = ( 10 \times 2 + 5 = 25 )
सत्यापन:
अंकों का योग = ( 2 + 5 = 7 )
( 25 – 7 = 18 ) (सही है)
उत्तर: संख्या 25 है।
प्रश्न 2: एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु से 4 गुना है। 8 वर्ष बाद, पिता की आयु पुत्र की आयु से 3 गुना होगी। पिता और पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पुत्र की वर्तमान आयु = ( x ) वर्ष
पिता की वर्तमान आयु = ( 4x ) वर्ष
8 वर्ष बाद:
पुत्र की आयु = ( x + 8 )
पिता की आयु = ( 4x + 8 )
प्रश्नानुसार:
( 4x + 8 = 3(x + 8) )
समीकरण को हल करें:
( 4x + 8 = 3x + 24 )
( 4x – 3x = 24 – 8 )
( x = 16 )
अब,
पुत्र की आयु = ( x = 16 ) वर्ष
पिता की आयु = ( 4x = 4 \times 16 = 64 ) वर्ष
सत्यापन:
8 वर्ष बाद, पुत्र की आयु = ( 16 + 8 = 24 )
पिता की आयु = ( 64 + 8 = 72 )
( 72 = 3 \times 24 ) (सही है)
उत्तर: पिता की आयु 64 वर्ष, पुत्र की आयु 16 वर्ष।
प्रश्न 3: निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
( 3x + 2y = 11 )
( x – y = 3 )
हल:
समीकरण हैं:
- ( 3x + 2y = 11 )
- ( x – y = 3 )
समीकरण 2 से ( x ) निकालें:
( x = y + 3 )
( x ) का मान समीकरण 1 में रखें:
( 3(y + 3) + 2y = 11 )
( 3y + 9 + 2y = 11 )
( 5y + 9 = 11 )
( 5y = 2 )
( y = \frac{2}{5} )
अब ( y = \frac{2}{5} ) को ( x = y + 3 ) में रखें:
( x = \frac{2}{5} + 3 = \frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{17}{5} )
उत्तर: ( x = \frac{17}{5} ), ( y = \frac{2}{5} )
प्रश्न 4: निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए:
( 2x + 3y = 7 )
( 4x – y = 5 )
हल:
समीकरण हैं:
- ( 2x + 3y = 7 )
- ( 4x – y = 5 )
समीकरण 2 को 3 से गुणा करें ताकि ( y ) के गुणांक समान हो जाएँ:
( 4x – y = 5 )
( 12x – 3y = 15 ) (नया समीकरण 2)
अब समीकरण 1 और नए समीकरण 2 को जोड़ें:
( 2x + 3y = 7 )
( 12x – 3y = 15 )
( 14x = 22 )
( x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7} )
( x = \frac{11}{7} ) को समीकरण 2 में रखें:
( 4 \times \frac{11}{7} – y = 5 )
( \frac{44}{7} – y = 5 )
( y = \frac{44}{7} – 5 = \frac{44}{7} – \frac{35}{7} = \frac{9}{7} )
उत्तर: ( x = \frac{11}{7} ), ( y = \frac{9}{7} )
प्रश्न 5: एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से दोगुनी है। यदि आयत का परिमाप 36 सेमी है, तो आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयत की चौड़ाई = ( x ) सेमी
लंबाई = ( 2x ) सेमी
आयत का परिमाप = ( 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) )
( 2(2x + x) = 36 )
( 2(3x) = 36 )
( 6x = 36 )
( x = 6 )
अब,
चौड़ाई = ( x = 6 ) सेमी
लंबाई = ( 2x = 2 \times 6 = 12 ) सेमी
सत्यापन:
परिमाप = ( 2(12 + 6) = 2 \times 18 = 36 ) सेमी (सही है)
उत्तर: लंबाई = 12 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी।
प्रश्न 6: दो संख्याओं का योग 25 है और उनका अंतर 7 है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली संख्या = ( x )
दूसरी संख्या = ( y )
प्रश्नानुसार:
- ( x + y = 25 )
- ( x – y = 7 )
समीकरण 1 और 2 को जोड़ें:
( (x + y) + (x – y) = 25 + 7 )
( 2x = 32 )
( x = 16 )
( x = 16 ) को समीकरण 1 में रखें:
( 16 + y = 25 )
( y = 25 – 16 = 9 )
उत्तर: संख्याएँ 16 और 9 हैं।
प्रश्न 7: दो अंकों की एक संख्या में इकाई का अंक, दहाई के अंक से दोगुना है। यदि संख्या को इसके अंकों के योग से 27 अधिक है, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना दहाई का अंक = ( x )
इकाई का अंक = ( 2x ) (क्योंकि इकाई का अंक दहाई के अंक से दोगुना है)
संख्या = ( 10x + 2x = 12x )
अंकों का योग = ( x + 2x = 3x )
प्रश्नानुसार:
( 12x = 3x + 27 )
समीकरण को हल करें:
( 12x – 3x = 27 )
( 9x = 27 )
( x = 3 )
अब,
दहाई का अंक = ( x = 3 )
इकाई का अंक = ( 2x = 2 \times 3 = 6 )
संख्या = ( 10 \times 3 + 6 = 36 )
उत्तर: संख्या 36 है।
प्रश्न 8: एक व्यक्ति की वर्तमान आयु उसके पुत्र की आयु से 5 गुना है। 6 वर्ष बाद, व्यक्ति की आयु उसके पुत्र की आयु से 3 गुना होगी। व्यक्ति की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पुत्र की वर्तमान आयु = ( x ) वर्ष
व्यक्ति की वर्तमान आयु = ( 5x ) वर्ष
6 वर्ष बाद:
पुत्र की आयु = ( x + 6 )
व्यक्ति की आयु = ( 5x + 6 )
प्रश्नानुसार:
( 5x + 6 = 3(x + 6) )
समीकरण को हल करें:
( 5x + 6 = 3x + 18 )
( 5x – 3x = 18 – 6 )
( 2x = 12 )
( x = 6 )
अब,
पुत्र की आयु = ( x = 6 ) वर्ष
व्यक्ति की आयु = ( 5x = 5 \times 6 = 30 ) वर्ष
उत्तर: व्यक्ति की वर्तमान आयु 30 वर्ष है।
प्रश्न 9: दो रैखिक समीकरण ( 2x + 3y = 8 ) और ( 4x – y = 7 ) को हल कीजिए।
हल:
समीकरण हैं:
- ( 2x + 3y = 8 )
- ( 4x – y = 7 )
समीकरण 2 से ( y ) निकालें:
( 4x – y = 7 )
( y = 4x – 7 )
अब ( y ) का मान समीकरण 1 में रखें:
( 2x + 3(4x – 7) = 8 )
( 2x + 12x – 21 = 8 )
( 14x – 21 = 8 )
( 14x = 29 )
( x = \frac{29}{14} )
अब ( x = \frac{29}{14} ) को ( y = 4x – 7 ) में रखें:
( y = 4 \times \frac{29}{14} – 7 )
( y = \frac{116}{14} – \frac{98}{14} )
( y = \frac{18}{14} = \frac{9}{7} )
उत्तर: ( x = \frac{29}{14} ), ( y = \frac{9}{7} )
प्रश्न 10: एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 सेमी अधिक है। यदि आयत का परिमाप 32 सेमी है, तो आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आयत की चौड़ाई = ( x ) सेमी
लंबाई = ( x + 4 ) सेमी
आयत का परिमाप = ( 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) )
( 2(x + 4 + x) = 32 )
( 2(2x + 4) = 32 )
( 4x + 8 = 32 )
( 4x = 24 )
( x = 6 )
अब,
चौड़ाई = ( x = 6 ) सेमी
लंबाई = ( x + 4 = 6 + 4 = 10 ) सेमी
उत्तर: लंबाई = 10 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी।
